임의의 다항함수가 이항분포를 따를 때

임의의 다항함수 $f(x+a)$가 이항분포를 따를 때,$f(x)=x^n$ (단, n은 임의의 자연수)이다.

증명

$_{n}C_{n}x^{n}a^{0} + _{n}C_{n-1}x^{n-1}a^{1} + _nC_{n-2}x^{n-2}a^{2} \cdot \cdot \cdot _{n}C_{0}x^{0}a^{n} = (x+a)^n$에 대해서

n=1일때

$_1C_1x^1a^0 + _1C_0x^0a^1 = (x+a)^1$

$\therefore$성립한다.

n=n+1일 때

n 이하의 실수 r에 대하여, $_{n+1}C_{r} = _{n}C_{r} + _{n}C_{r-1} = _{n}C_{r} + _{n}C_{n+1-r}$이고,
 $_{n+1}C_{n+1}=_{n}C_{n}=1$이므로,

$_{n+1}C_{n+1}x^{n+1}a^0 + _{n+1}C_{n}x^{n}a^1 + _{n+1}C_{n-1}x^{n-1}a^2 \cdot \cdot \cdot _{n+1}C_0x^0a^{n+1}$

$= _{n}C_{n}x^{n+1}a^0 + (_{n}C_{n} + _{n}C_{n-1})x^{n}a^1 + (_{n}C_{n-1} + _{n}C_{n})x^{n-2}a^2 \cdot \cdot \cdot _{n}C_0x^0a^{n+1}$

$= _{n}C_{n}x^{n+1}a^0 + _{n}C_{n-1}x^{n}a^1 + _{n}C_{n-2}x^{n-1}a^2 \cdot \cdot \cdot _{n}C_0x^0a^{n}$
    $+_{n}C_{n}x^{n}a^0 + _{n+1}C_{n}x^{n}a^1 + _{n+1}C_{n-1}x^{n-1}a^2 \cdot \cdot \cdot _{n+1}C_0x^0a^{n+1}$

$= (_nC_nx^na^0 + _nC_{n-1}x^{n-1}a^1 + _nC_{n-2}x^{n-2}a^2 \cdot \cdot \cdot _nC_0x^0a^n)x$
    $+ (_nC_nx^na^0 + _nC_{n-1}x^{n-1}a^1 + _nC_{n-2}x^{n-2}a^2 \cdot \cdot \cdot _nC_0x^0a^n)a$

$= (x+a)^{n}x + (x+a)^{n}a$

$= (x+a)^{n+1}$

$_{n+1}C_{n+1}x^{n+1}a^0 + _{n+1}C_{n}x^{n}a^1 + _{n+1}C_{n-1}x^{n-1}a^2 \cdot \cdot \cdot _{n+1}C_0x^0a^{n+1} = (x+a)^{n+1}$

$\therefore$성립한다.

 

$\therefore _nC_nx^na^0 + _nC_{n-1}x^{n-1}a^1 + _nC_{n-2}x^{n-2}a^2 \cdot \cdot \cdot _nC_0x^0a^n = (x+a)^n$

적용(수2)

예시 문제) 다항함수 $f(x)$가 임의의 실수 $x, y$에 대하여
$f(x+y) = f(x) + f(y) + 6xy(x+y)$
을 만족시킬 때, $f'(5)$의 값은?

$f(x) + f(y) + 6xy(x+y) = 2\{{1 \over 2}f(x) + {1 \over 2}f(y) + 3xy(x+y)\}$

${1 \over 2}f(x)=x^3$

$f(x)=2x^3$

$f'(x)=6x^2$

$\therefore f'(5)=150$